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Marco Nigro

Registri a.a. 2009/2010

Dati registro

insegnamento
ANALISI IN PIU' VARIABILI II (cod. 041AA)
corso di studi
MAT-L - MATEMATICA
Condiviso con altri corsi di laurea    dettaglio
responsabile
Paolo Acquistapace
docenti
Paolo Acquistapace , Antonio Tarsia
totale ore
40

    Dettaglio ore

Lezioni

  1. Lun 22/02/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Difetti dell'integrazione secondo Riemann. Algebre, tribu`, spazi misurabili, misure, spazi misurati. Esempi: misura cardinalita`, misura di Dirac, misure concentrate su E ⊆ X. Proprieta` delle misure: monotonia, subadditivita` numerabile, additivita` numerabile sui disgiunti, buon comportamento rispetto alle successioni monotone di insiemi. Classi di Dynkin, teorema di Dynkin. (Paolo Acquistapace)
  2. Mar 23/02/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Criterio di coincidenza di due misure: caso di misure finite e caso di misure σ-finite. Estensione di misure: teorema di Carathéodory. (Paolo Acquistapace)
  3. Lun 01/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Costruzione della misura di Lebesgue in R^N tramite il teorema di Carathéodory. Regolarita` della misura di Lebesgue. (Paolo Acquistapace)
  4. Mar 02/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Un insieme non misurabile secondo Lebesgue: l'insieme di Vitali. La misura esterna non e` additiva sui disgiunti non misurabili. Funzioni misurabili: definizione, esempi: funzioni continue, funzioni semplici. (Paolo Acquistapace)
  5. Ven 05/03/2010 10:00-11:00 (1:0 h) lezione: misurabilita` della somma e del prodotto di funzioni misurabili. Misurabilita` di sup, inf, limsup, liminf, lim di successioni di funzioni misurabili. Esempi vari. (Paolo Acquistapace)
  6. Mar 09/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Costruzione di una successione di funzioni semplici, nulle fuori da un insieme di misura finita, che convergono puntualmente ad una fissata funzione misurabile. L'integrale di Lebesgue: caso delle funzioni semplici, delle funzioni misurabili non negative, delle funzioni integrabili, delle funzioni sommabili. L'integrale su D di una fissata funzione integrabile e` numerabilmente additivo. Monotonia e omogeneita` dell'integrale; sua linearita`(dimostrazione posposta). (Paolo Acquistapace)
  7. Ven 12/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Insiemi di misura nulla, proprieta` collegate; relazione di equivalenza f≈g se e solo se f=g q.o., misurabilita` di una funzione che coincide q.o. con una funzione misurabile. Teorema di Beppo Levi, esempi e controesempi; conseguenza: linearita` dell'integrale. (Paolo Acquistapace)
  8. Mar 16/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Dimostrazione del teorema di Beppo Levi. Lemma di Fatou, teorema di Lebesgue. Assoluta continuita` dell'integrale. Confronto fra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue in R: maggiore generalita` del secondo, esempi e controesempi; esistenza dell'integrale improprio di (sin x)/x e non integrabilita`secondo Lebesgue della stessa funzione. (Paolo Acquistapace)
  9. Ven 19/03/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: MIsure prodotto astratte costruite tramite il teorema di Caratheodory; caso particolare: il prodotto delle misure di Lebesgue k- e h-dimensionali (k+h=N). Un insieme m_N-misurabile che non sta nella tribu` prodotto. La tribu`boreliana di R^N coincide con la tribu` prodotto della boreliana di R^k per la boreliana di R^h. (Paolo Acquistapace)
  10. Mar 23/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Sezioni di un insieme di R^N. Misurabilita` delle sezioni di un misurabile della tribu` prodotto, misurabilita` q.o. delle sezioni di un misurabile di R^N. Misura di un insieme come integrale delle misure delle sue sezioni. Teorema di Tonelli, teorema di Fubini (enunciati). (Paolo Acquistapace)
  11. Ven 26/03/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Esempi di applicazione dei teoremi di Tonelli e Fubini. Calcolo dell'integrale improprio di (sin x)/x su [0,∞[. (Paolo Acquistapace)
  12. Mar 13/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Osservazioni varie sulle misure prodotto e sui teoremi di Fubini-Tonelli. Esercizi sugli integrali multipli. (Paolo Acquistapace)
  13. Ven 16/04/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Esercizi sul passaggio al limite sotto il segno di integrale. (Paolo Acquistapace)
  14. Mar 20/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Cambiamento di variabili: enunciato dei teoremi, esempi; coordinate polari nel piano, esempi; coordinate cilindriche nello spazio, esempi; coordinate sferiche nello spazio, esempi. (Paolo Acquistapace)
  15. Ven 23/04/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Dimostrazione del teorema del cambiamento di variabili, modulo il lemma chiave. (Paolo Acquistapace)
  16. Mar 27/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Dimostrazione del lemma chiave. Spazi L^p(D), D sottoinsieme di R^N, p≥1: funzioni q.o. coincidenti, classi di equivalenza, disuguaglianze di Hölder e di Minkowski, norma di L^p, completezza. Serie trigonometriche; generalita`, motivazioni, parentela con le serie di potenze, ortogonalita` del sistema trigonometrico in L^2(-π,π), periodicita`, notazione complessa. Condizione sufficiente per la convergenza totale. (Paolo Acquistapace)
  17. Ven 30/04/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Condizione necessaria per la convergenza uniforme di una serie trigonometrica. Legame fra somma della serie e coefficienti, analogie con le serie di potenze. Serie di Fourier e coefficienti di Fourier, caso di serie di soli seni o di soli coseni. Proprieta` di miglior approssimazione, disuguaglianza di Bessel. (Paolo Acquistapace)
  18. Mar 04/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Completezza del sistema trigonometrico, identita` di Bessel, identita` di Parseval, lemma di Riemann-Lebesgue. Esempio: calcolo di Σ 1/n^2. Densita` di S_0, di C∩L^p(R^N) e di C_0(R^N) in L^p(R^N). Continuita` della traslazioni in L^2. Legame fra coefficienti di Fourier di f e di f', criterio di convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni derivabili con f' in L^2. (Paolo Acquistapace)
  19. Mar 11/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Curve: generalita`, esempi, sostegno, orientazione, curve regolari e regolari a tratti, versore tangente a una curva regolare, curve equivalenti, curve chiuse equivalenti a tratti. Lunghezza di una curva, curve rettificabili, calcolo della lunghezza di curve di classe C^1 mediante un integrale. Esempi. Integrali curvilinei di funzioni; loro invarianza rispetto a curve equivalenti. (Paolo Acquistapace)
  20. Ven 14/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Forme differenziali lineari o 1-forme: generalita`, esempi, forme esatte, primitive di una 1-forma. Integrale curvilineo di 1-forme: sua dipendenza dall'orientazione della curva. Caratterizzazione delle 1-forme esatte. Esempio: lavoro compiuto da una forza, campi conservativi. !-forme di classe C^1: forme chiuse, ogni forma C^1 esatta e` chiusa, esempio di 1-forma chiusa ma non esatta. Aperti semplicemente connessi, esattezza delle 1-forme chiuse definite su tali aperti. Rotore di un vettore di R^3 e legame con le 1-forme chiuse. (Paolo Acquistapace)
  21. Mar 18/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Formule di Gauss-Green nel piano. Applicazioni: area di insiemi piani, teorema della divergenza, integrazione per parti. (Paolo Acquistapace)
  22. Mar 25/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Superfici regolari: definizione, parametrizzazione, sostegno, interno e bordo, piano tangente e vettore normale. Prodotto vettoriale e sue proprieta`. Esempi: sfera e calotta sferica, superfici cartesiane, superfici di livello, quadriche, superfici di rotazione. Orientabilita` ed orientazione di una superficie, nastro di Möbius. Superfici regolari a tratti. Area di una superficie, integrali superficiali. (Paolo Acquistapace)
  23. Ven 28/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Formula di Stokes. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza in R^3. (Paolo Acquistapace)

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