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TEORIA DEI SEMIGRUPPI

insegnamento

TEORIA DEI SEMIGRUPPI (cod. 215AA)

corso di studi

WMA-LM - MATEMATICA

responsabile

Paolo Acquistapace

docenti

Paolo Acquistapace

totale ore

33

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Lezioni

1. Mer 24/02/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Definizione di semigruppo {exp(tA)} quando A ∈ L(X), X spazio di Banach. Legge di semigruppo. Generatore di un semigruppo. Uniforme continuita` (continuita` risptto alla norma uniforme) di un semigruppo. Semigruppi asintoticamente stabili e loro caratterizzazioni. Raggio spettrale di un operatore. Teoria spettrale: risolvente e spettro di un operatore, spettro puntuale, continuo e residuo. Operatore risolvente, identita` del risolvente. (Paolo Acquistapace)
2. Gio 25/02/2010 15:00-16:00 (1:0 h) lezione: Integrale di funzioni da [a,b] in X spazio di Banach: funzioni semplici, funzioni fortemente misurabili, definizione di integrale, proprieta` dell'integrale, spazi L^p(a,b;X), teorema fondamentale del calcolo integrale. (Paolo Acquistapace)
3. Mer 03/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Funzioni olomorfe di un operatore: definizione e proprieta`. Teorema della mappa spettrale. Caratterizzazione della stabilita` asintotica di un semigruppo mediante la condizione di parte reale negativa degli lmenti dello spettro. Esempi di semigruppi: semigruppo di moltiplicazione e sue proprieta`. (Paolo Acquistapace)
4. Gio 04/03/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Semigruppo delle traslazioni: definizione e proprieta` in vari spazi di funzioni continue o p-sommabili; il caso di R, di semirette e di intervalli limitati. Semigruppi fortemente continui. (Paolo Acquistapace)
5. Mer 10/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Caratterizzazione dei semigruppi fortemente continui. Generatore infinitesimale di un semigruppo fortemente continuo: sua esistenza e sue proprieta`. Equivalenza fra generatore limitato e semigruppo continuo per la topologia uniforme. Stima esponenziale e tipo di un semigruppo; esempi vari. (Paolo Acquistapace)
6. Mar 16/03/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Esempio di semigruppo fortemente continuo: il semigruppo delle traslazioni in L^p(R). Caratterizzazione del suo dominio. Problema di Cauchy associato: primo esempio di equazione a derivate parziali interpretata astrattamente dalla teoria dei semigruppi. "Core" di un operatore: caso del generatore di un semigruppo fortemente continuo. (Paolo Acquistapace)
7. Mer 17/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: D(A^∞) e` denso in D(A) se A genera un semigruppo fortemente continuo. legame fra T(t) e R(λ,A): questo e` la trasformata di Laplace del semigruppo. Formula per le potenze di R(λ,A). Spectral bound s(A), s(A) non supera il tipo del semigruppo. Esempi di semigruppi e di generatori: semigruppi moltiplicativi, semigruppi di traslazione, semigruppo generato dalla derivata seconda, semigruppo di diffusione. (Paolo Acquistapace)
8. Mar 23/03/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Il Laplaciano genera il semigruppo di diffusione in R^n. Teorema di Hille-Yosida. (Paolo Acquistapace)
9. Mer 24/03/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Esempi di applicazione del teorema di Hille-Yosida: la derivata seconda in [0,1] con condizioni di Neumann: generazione di semigruppo di contrazioni in L^p(0,1) e C[0,1]; se le condizioni sono di Dirichlet, il semigruppo e' esponenzialmente stabile in L^p(0,1). Operatori dissipativi: generalita`, proprieta`. Teorema di Lumer-Phillips (enunciato). (Paolo Acquistapace)
10. Mar 13/04/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Dimostrazione del teorema di Lumer-Phillips. Altre condizioni necessarie e/o sufficienti per la dissipativita`. Teorema di Stone. (Paolo Acquistapace)
11. Mer 14/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Esempi di operatori dissipativi: operatori di moltiplicazione, generatore del semigruppo associato al flusso di un sistema dinamico, e di quello associato ad una equazione con ritardo. Operatore derivata seconda, operatore f --> x(1-x)f''(x). (Paolo Acquistapace)
12. Mar 20/04/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Semigruppi analitici: generalita`. (Paolo Acquistapace)
13. Mer 21/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Semigruppi analitici: proprieta` principali; necessita` della stime del risolvente solo su un semipiano,e sua automatica estensione a un settore piu` grande. Esempi: operatori limitati, derivata seconda. (Paolo Acquistapace)
14. Mar 27/04/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Generazione di semigruppo analitico da parte di A^2, se A genera un semigruppo fortemente continuo. Esempio: il Laplaciano in R^N. Il problema di Cauchy non omogeneo u'=Au+f, u(0)=x: definizione di soluzione stretta, soluzione classica, soluzione forte. Formula di rappresentazione della soluzione. (Paolo Acquistapace)
15. Mer 28/04/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Teorema di esistenza e unicita` per soluzioni strette e forti quando A genera un semigruppo fortemente continuo. Un controesempio all'esistenza di soluzioni strette quando f e` solo continua. Teorema di esistenza e unicita` per soluzioni strette, classiche e forti quando A genera un semigruppo analitico; regolarita` massimale lontano da t=0. (Paolo Acquistapace)
16. Mar 04/05/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Perturbazione di generatori di semigruppi: alcuni esempi negativi, Caso di perturbazione limitata: se A genera un semigruppo fortemente continuo e B e` limitato, anche A+B genera un semigruppo. (Paolo Acquistapace)
17. Mer 05/05/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Rappresentazione del semigruppo generato da A+B, quando B e` limitato, tramite una equazione integrale di Volterra. Perturbazioni non limitate, caso delle perturbazioni "A-limitate": un esempio. (Paolo Acquistapace)
18. Mar 11/05/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Generazione di semigruppo di contrazione da parte di A+B, quando A e` generatore di semigruppo di contrazione e B e` dissipativo e A-limitato con limitazione minore di 1. (Paolo Acquistapace)
19. Mer 12/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Conclusione della dimostrazione precedente. Generazione di semigruppo analitico da parte di A+B quando A e` generatore i semigruppo analitico e B e` A-limitato con limitazione sufficientemente piccola. Teorema di Trotter-Kato: enunciato e prima parte della dimostrazione. (Paolo Acquistapace)
20. Mar 18/05/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Teorema di Trotter-Kato: conclusione della dimostrazione. Formula di Chernoff e approssimazione puntuale di un semigruppo T(t) tramite gli operatori [I-(t/n)A]^(-n). (Paolo Acquistapace)
21. Mer 19/05/2010 09:00-11:00 (2:0 h) lezione: Comportamento asintotico di un semigruppo: varie nozioni di stabilita`, caratterizzazioni e relazioni fra di esse, esempi e controesempi. (Paolo Acquistapace)
22. Mar 25/05/2010 11:00-12:00 (1:0 h) lezione: Soglia di crescita ω_0 e limitazione spettrale s(A): un esempio in cui s(A)<ω_0. (Paolo Acquistapace)
23. Mer 26/05/2010 09:00-10:00 (1:0 h) lezione: Raggio spettrale: richiamo della definizione e sua caratterizzazione come limite di ||A^n||^(1/n). (Paolo Acquistapace)

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